Volumen Kugel aus Kreisfläche berechnen

Die Kreisfläche ist der größte Querschnitt durch die Kugel. Schneide die Kugel in der Mitte durch: Der Kreis, den du siehst, ist die Kreisfläche. Sie ist A = π · r². Sie ist nicht die Oberfläche: Die Oberfläche ist die ganze Haut außen herum und 4× so groß. Ein kleinerer Schnitt weiter oben ist auch nicht die Kreisfläche — nur der Schnitt durch den Mittelpunkt zählt. Beispiel aus der QA (Lehrbeispiel): A ≈ 50,27 cm² → r ≈ 4 cm → V ≈ 268,08 cm³.

r = √(A / π), dann V = (4/3) · π · r³. A ist die Kreisfläche. π ist die Kreiszahl, etwa 3,14159. Teile A durch π, ziehe die Wurzel, dann hast du den Radius. Danach gilt die normale Kugelformel. Ohne die Wurzel geht es nicht: A / π ist r², nicht r. Und Vorsicht: A / π ist nicht A / (4π) — die 4 gehört nur zur Oberfläche.

Die Kreisfläche ist A = π · r². Die Oberfläche ist O = 4 · π · r². Darum steht unter der Wurzel nur π, nicht 4π.

Herleitung der Volumenformel

Das Volumen ist 268,08 cm³.

1. Durch π teilen: A / π = 50,27 / 3,14159 ≈ 16,00. Das ist r², in cm².
2. Wurzel ziehen: r = √16 ≈ 4 cm.
3. Volumen rechnen: V = (4/3) · π · r³ = (4/3) · π · 64 ≈ 268,08 cm³.

Die Tabelle zeigt das Volumen für typische Kreisflächen. Alle Werte mit π ≈ 3,14159, in cm³ und in Litern. Die A-Werte sind auf 2 Stellen gerundet gezeigt (≈), das Volumen gilt für den exakten Radius.

Die Zeile A ≈ 50,27 cm² ist das Lehrbeispiel (r = 4 cm genau → 268,08 cm³). Gibst du 50,27 cm² ein, zeigt der Rechner 268,12 cm³.

• Tennisball, A ≈ 34,21 cm² → r ≈ 3,3 cm → ≈ 150,53 cm³ ≈ 0,15 Liter
• Orange, A ≈ 50,27 cm² → r ≈ 4 cm → ≈ 268,08 cm³ ≈ 0,27 Liter (Lehrbeispiel)
• Fußball, A ≈ 380,13 cm² → r ≈ 11 cm → ≈ 5.575,28 cm³ ≈ 5,58 Liter

1 Liter = 1.000 cm³ = 1 dm³. 1 m³ = 1.000 Liter. Für Flächen gilt: 1 dm² = 100 cm², 1 m² = 10.000 cm². Rechne zuerst alle Flächen in dieselbe Einheit um, dann rechne, dann rechne das Ergebnis in die gewünschte Einheit um. Vorsicht: cm² und cm³ sind nicht dasselbe.

1. Kreisfläche als Oberfläche nehmen: Falsch: A = 50,27 cm² als O nehmen, r = √(A / 4π) = 2 cm → 33,51 cm³. Richtig: r = √(A / π) = 4 cm → 268,08 cm³. Fehler: Volumen ist dann 8× zu klein, weil der Radius nur halb so groß ist.
2. Wurzel vergessen: Falsch: r = A / π ≈ 16 cm rechnen → V ≈ 17.157,27 cm³. Richtig: r = √(A / π) ≈ 4 cm → 268,08 cm³. Die Wurzel gehört dazu: A / π ist r², nicht r.
3. Kleinen Querschnitt statt Großkreis nehmen: Falsch: einen Schnitt weiter oben messen und als Kreisfläche nehmen. Richtig: nur der Schnitt durch den Mittelpunkt ist die Kreisfläche, A = π · r². Jeder andere Schnitt ist kleiner.
4. π zu stark runden, ohne es zu sagen: Mit π ≈ 3,14: r = 4 cm genau → 267,95 cm³. Das ist die Schulversion, nicht der genaue Wert mit π ≈ 3,14159. Immer sagen, welches π du benutzt.

Kennst du nur die Oberfläche? Dann nutze Volumen Kugel aus Oberfläche. Kennst du nur den Radius? Dann nutze Volumen Kugel mit Radius. Kennst du nur das Volumen und willst die Oberfläche zurück? Dann nutze Oberfläche aus Volumen.

1. A ≈ 12,57 cm² (r = 2 cm). Volumen? Antwort: 33,51 cm³.
2. A ≈ 78,54 cm² (r = 5 cm). Volumen? Antwort: 523,60 cm³.
3. A = 50,27 cm² eingegeben. Was zeigt der Rechner? Antwort: 268,12 cm³.